MathemaTeX

de **José** le Dimanche 13 Août 2006, 13:49

Bonjour à tous,

je n'arrive pas à résoudre l'équation fonctionnelle suivante :

$f(x+1)=f(x)+f(\frac{1}{x})$ où

est continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ .

Quelqu'un aurait-il une indication à me proposer ?
Merci

de **François D.** le Dimanche 13 Août 2006, 16:00

Vue l'allure de l'équation, on est tenté de dire que la seule solution est la fonction identiquement nulle ...
Clairement, elle est solution de l'équation ; reste à prouver que c'est la seule.

de **José** le Dimanche 13 Août 2006, 16:30

oui c'est ce que je me suis dis. On peut même prouver avec quelques manipulation simple que :
1) $\lim_{x \to \infty}f(x)=f(1)$
2) $f(\frac{1}{x}+1)=f(x+1)$
3) f(0)=0

4) $f(\Phi)=f(\frac{1}{\Phi})=0$ où $\Phi$ est le nombre d'or
Mais à partir de là je bloque.

de **François D.** le Dimanche 13 Août 2006, 17:19

Attention tout de même en zéro ... Disons que l'équation fonctionnelle doit être vérifiée pour tout $x \neq 0$ .

De plus, imposer à

d'être continue sur tout $\mathbb{R}$ ne signifie pas qu"elle ait une limite pour $x \to \pm \infty$ (penser aux fonctions $\cos$ et $\sin$ par exemple) ...

de **José** le Dimanche 13 Août 2006, 17:46

Oui l'équation fonctionnelle est évidement vérifiée pour $x\neq 0$ .
Au sujet de la limite en $\pm\infty$ , je ne l'invente pas que à cause de la continuité de

mais parce que $f(\frac{1}{x}+1)=f(x+1)$ et puisque

est continue alors $\lim_{x \to 0}f(x+1)=f(1)$ et d'où $\lim_{x \to 0}f(\frac{1}{x}+1)=f(1)$ et $\frac{1}{x}+1\to\infty$ quand $x\to 0$ .

de MB le Lundi 14 Août 2006, 10:59

On a aussi f(-1)=0

en passant. Je me demandais comment déterminer (si possible) f(1)

.
Je vais essayer d'y penser. Bon courage.

de **François D.** le Lundi 14 Août 2006, 12:36

Je viens d'avoir une idée pour ce qui est de la limite en $\pm \infty$ ... je vous la soumets.

De $f(x+1)=f(x)+f(\frac{1}{x})$ on tire que $f(x+1)-f(x)=f(\frac{1}{x})$ ;

étant continue sur tout $\mathbb{R}$ , et donc en particulier en zéro, en faisant tendre

vers

on obtient, moyennant le changement de variable $t=\frac{1}{x}$ :

$\displaystyle f(1)-f(0)=\lim_{t \to \pm \infty}f(t)$

Cela prouve bien que la limite en question existe et est finie, ou bien ?

Par conséquent, on peut effectuer des passages à la limite en l'infini dans l'équation fonctionnelle : f(1)-f(0)=[f(1)-f(0)]+f(0)

, autrement dit f(0)=0

...

de MB le Lundi 14 Août 2006, 13:23

@François D. : Oui, ceci a déjà été fait par José il me semble.

de **François D.** le Lundi 14 Août 2006, 14:28

Il me semblait que José s'était contenté de l'affirmer ... Avec tout ça, on est tranquilles : limite en l'infini il y a bien et on sait combien elle vaut :wink:

!

de **José** le Lundi 14 Août 2006, 14:52

Petite erreur de ma part, je ne sais rien sur $f(\Phi)$ mais par contre $f(\Phi^{-1})=f(-\Phi)=f(0)=0$
car pour $x=\Phi^{-1}$ ou $x=-\Phi$ on a $x+1=\frac{1}{x}$ et donc $f(x+1)=f(\frac{1}{x})$ d'ou f(x)=0

de MB le Mardi 15 Août 2006, 00:07

En considérant x=-1/2

on peut encore affirmer que f(-2)=0

. Ensuite avec x=-2

, on obtient que f(-1/2)=0

également ...

de **José** le Mardi 15 Août 2006, 00:24

comment fais tu ?

de MB le Mardi 15 Août 2006, 09:02

José a écrit:comment fais tu ?

Non désolé, je suis allé trop vite avec x=-1/2

, j'avais cru qu'on obtenait f(-1/2)=f(-1/2)+f(-2)

... en fait c'est f(1/2)=f(-1/2)+f(-2)

qui ne donne rien !

Du coup, tu peux oublier ce que j'ai dit ! :tomato:

de MB le Mardi 15 Août 2006, 23:40

Par contre, en repartant de f(1/2)=f(-1/2)+f(-2)

(*) et avec x=-2

, on obtient f(-1)=f(-2)+f(-1/2)

. Comme

, on obtient que f(-2)=-f(-1/2)

. En remplaçant dans (*), on arrive à f(1/2)=0

.
On peut aussi utiliser directement la formule f(1/x+1)=f(x+1)

avec

.

Ensuite, avec x=2

et

, on obtient que f(3)=f(2)=f(3/2)

(et

). Mais bon, à priori ça n'avance pas à grand chose ! :frusty:

Il sort d'où cet exercice ?

de **François D.** le Mercredi 16 Août 2006, 08:38

Pour ce que ça vaut : quand on demande au logiciel de calcul formel maxima de résoudre l'équation, il donne comme seule solution la fonction identiquement nulle

...

de **José** le Mercredi 16 Août 2006, 12:53

MB a écrit:Il sort d'où cet exercice ?

Et bien en fait je l'ai vu sur un autre forum et j'ai demandé aussi au gars qui l'a posté d'où il sort mais je n'ai pas eu de réponse jusqu'à présent...

de **José** le Mercredi 16 Août 2006, 13:26

Pour résumer on a pour l'instant 5 zéros pour un telle fonction : $\{-\Phi ; -1 ; 0 ; \frac{1}{2} ; \Phi^{-1}\}=A$ et avec la relation : $f(\frac{1}{x}+1)=f(x+1)$ on peut en déduire que si $y\in A$ alors $f(\frac{y}{y-1})=0$ et donc $\frac{y}{y-1}$ est aussi un zéro. Si je note

l'ensemble des zéros de

alors on peut écrire $A\subset B$ si on note $g:y\mapsto\frac{y}{y-1}$ alors $(A\cup g(A))\subset B$ . On pourrait définir $A_1=A\cup g(A)$ et ainsi de suite $A_n=A_{n-1}\cup g(A_{n-1})$ . La première question est : est ce que cette suite (A_n)

est strictement croissante ? On pourrait si c'est le cas définir une infinité de zéros pour

et avec un peu de chance si ces zéros sont denses dans $\mathbb{R}$ ... enfin avec la continuité vous voyez la suite ...

Qu'en pensez-vous ?

de **François D.** le Mercredi 16 Août 2006, 13:29

Je réfléchis à voix haute ... Apparemment, en particulier avec ce que nous dit MB, il semblerait bien qu'on puisse trouver « beaucoup » de valeurs de

telles que f(x)=0

; n'arriverait-on pas à prouver que f(n)=0

où $n\in\mathbb{N}$ , puis au vu de l'équation fonctionnelle passer aux rationnels, et enfin par continuité à $\mathbb{R}$ tout entier ?

Cela dit, je sais : facile à dire ...

de **José** le Mercredi 16 Août 2006, 13:37

Désolé j'ai dit une bêtise g(A)=A :bangin:

de MB le Mercredi 16 Août 2006, 16:56

François D. a écrit:Je réfléchis à voix haute ... Apparemment, en particulier avec ce que nous dit MB, il semblerait bien qu'on puisse trouver « beaucoup » de valeurs de telles que ; n'arriverait-on pas à prouver que où $n\in\mathbb{N}$ , puis au vu de l'équation fonctionnelle passer aux rationnels, et enfin par continuité à $\mathbb{R}$ tout entier ?

Bah justement, on en trouve pas tant que ça des valeurs de

telles que f(x)=0

.

Il serait bon déjà d'obtenir que f(1)=0

, mais je ne trouve pas de moyen !
Par l'absurde, je n'arrive pas à mettre en évidence une quelconque contradiction ...

MathemaTeX

Equation fonctionnelle

Equation fonctionnelle

Qui est en ligne